Question

已知函数满足，对任意都有，且．

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）存在实数，.

【解析】

试题分析：（1）根据 求得；

根据对任意，有，确定图像的对称轴为直线，求得；

利用对任意都有，转化成对任意成立，解得.

（2）化简函数 ，其定义域为，

令，利用复合函数的单调性，得到求解，得，肯定存在性.

试题解析：

（1）由及 ∴      1分

又对任意，有

∴图像的对称轴为直线，则，∴        3分

又对任意都有，

即对任意成立，

∴，故                                   6分

∴                                               7分

（2）由（1）知 ，其定义域为     8分

令

要使函数在上为减函数，

只需函数在上为增函数，                11分

由指数函数的单调性，有，解得            13分

故存在实数，当时，函数在上为减函数      14分

考点：二次函数的图象和性质，待定系数法，复合函数的单调性，对数函数的性质.