Question

已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点．点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）直线的方程为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形，所以，利用，可得，又椭圆的焦点在轴上，从而得椭圆的方程；（Ⅱ）需分直线的斜率是否为0讨论．①当直线的斜率为0时，则；②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，将代入，整理得．利用韦达定理列出．结合，，列出关于的函数，应用均值不等式求其最值，从而得的值，最后求出直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）由已知得（2分），又，∴椭圆方程为（4分）

（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，则；        6分

②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，

将代入，整理得．

则，．      8分

又，，

所以，=

 10分．

令，则

所以当且仅当，即时，取等号． 由①②得，直线的方程为．13分．

考点：1．椭圆方程的求法；2．直线和椭圆位置关系中最值问题；3．均值不等式．