Question

已知函数，（）

（Ⅰ）若函数存在极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当且时，令，()，()为曲线上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）实数的取值范围为；(Ⅱ)当时，，函数的单调递增区间为；当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，有两个不相等实数根，利用求实数的取值范围；(Ⅱ)分，，讨论求函数的单调区间．当时，，函数的单调递增区间为；当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且．不妨设．故，则．，该方程有解．下面分，，讨论，得方程总有解．最后下结论，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．

试题解析：（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根．所以，                                   2分

解得                                                    3分

(Ⅱ)                                          4分

当时，，函数的单调递增区间为；           5分

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．7分．

（Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且．      8分

不妨设．故，则．

，该方程有解          9分

当时，，代入方程得

即，而此方程无实数解；              10分

当时，则；                    11分

当时，，代入方程得

即，                          12分

设，则在上恒成立．

∴在上单调递增，从而，则值域为．

∴当时，方程有解，即方程有解．               13分

综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．         14分．

考点：1．导数与函数的极值；2．利用导数求函数的单调区间；3．利用导数解决存在性问题．