Question

如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．

求证：（1）；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）作，O为垂足，而，可证O为AC的中点，得，可证四边形为平行四边形，即，由已知可得，所以底面ABC．即底面ABC. 

（2）由于底面ABC是等边三角形，且F是AB的中点，可知F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO=,又三棱锥的体积等于三棱锥F-EA1C的体积,求出三角形EA1C的面积，最后根据棱锥的体积公式求解即可.

试题解析：证明：（1） 在平面内，作，O为垂足．

因为，所以，即O为AC的中点，所以.        3分

因而．因为侧面⊥底面ABC，交线为AC，，所以底面ABC．

所以底面ABC.                 6分

（2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO=.               8分

所以.          12分

考点：平面与平面垂直的性质、直线与平面垂直的判定以及棱锥的体积.