Question

已知函数

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）设函数，求证：

Answer

（1）递增区间；递减区间；（2）；（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）定义域为，求并解不等式得单调递增区间；解不等式，得单调递减区间；（2）因为是偶函数，故不等式对恒成立，只需求函数（）的最小值即可，先求的根，得，当时，将定义域分段并分别考虑两侧导数符号，进而求最小值；当时，函数单调，利用单调性求最小值；（3），观察所要证明不等式，左边可看成，

，……这n对的积，只需证明每对的积大于即可.

试题解析：（1），令，解得，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减 .

（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立.

当时，，令，解得

①当，即时，在减，在增

，解得，

②当，即时，，在上单调递增，

，符合，   综上，

（3） 

考点：1、导数在单调性上的应用；2、导数在极值和最值方面的应用；3、不等式放缩法证明.