Question

如图，在直三棱柱中，，，且是中点.

(I)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面.

Answer

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)连接交于点，连接，则可证为的中位线，则有，根据直线与平面平行的判定定理即知，；(Ⅱ)先由和，根据直线与平面垂直的判定定理可知，，由直线与平面垂直的性质定理可知；由角的与余切值相等得到，根据等量代换则有，即，结合直线与平面垂直的判定定理可知，.

试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接，如图：

∵为正方形，∴为中点，

又为中点，∴为的中位线，

∴，

又，,

∴.                   4分

(Ⅱ)∵，又为中点，∴，

又∵在直棱柱中，，

又，∴，

又∵，∴，

又，所以.         8分

在矩形中，，

∴，

∴，

即，

又，

∴.            12分

考点：1.直线与平面平行的判定定理；2.直线与平面垂直的判定定理；3.直线与平面垂直的性质定理