Question

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．

(Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据已知条件可设椭圆方程为：，则有，，，求解即可得到和的值，将对应的解代入椭圆方程即可；(Ⅱ)①将直线方程代入椭圆方程求得，，求得、两点的横坐标之和为，由已知条件“中点的横坐标为”，得到，从而解得的值；

②根据①的、两点的坐标求得③，结合、两点坐标满足直线方程，将③式化简整理得，再由①中的根与系数的关系：，，代入化简即可.

试题解析：(Ⅰ)因为满足，，，

解得，，

则椭圆方程为：.                3分

(Ⅱ)①将代入中得，，

，

设，，则，

因为中点的横坐标为，所以，

解得.            6分

②由①知，，，

所以

.                  12分

考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质；3.方程的根与系数的关系；4.中点坐标公式；5.平面向量的数量积