Question

已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.

(I)求的单调区间和极大值

(II)证明对任意不等式恒成立.

Answer

(Ⅰ)单增区间，单减区间，极大值；(Ⅱ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据奇函数的定义可知，由此解得，由已知条件“当时取得极值”可得以及，联立方程组解得，写出函数的解析式为，然后对函数求导，利用函数的单调性与导数的关系判断函数在实数集R上的单调性，并由此得到函数在处取得极大值；(Ⅱ)根据函数在区间是单调递减的，可知函数在区间上的极大值和极小值，从而由对任意的都有不等式成立，即得结论.

试题解析：(Ⅰ)由奇函数的定义，有，

即，∴.

因此，，

由条件为的极值，必有.

故，解得.              4分

因此， ，

，

.

当时，，故在单调区间上是增函数；

当时，，故在单调区间上是减函数；

当时，，故在单调区间上是增函数.

∴函数在处取得极大值，极大值为.            8分

(Ⅱ)由(I)知，是减函数，

且在上的最大值

在上的最小值

∴对任意恒有                 12分    

考点：1.求函数的解析式；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究函数的极值；4.解不等式；5.奇函数的性质