Question

如图，是等边三角形，，，将沿折叠到的位置，使得．

(1)求证：；

(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．

Answer

(1)见解析；(2).

【解析】

试题分析：(1)根据已知条件可得以及，有直线与平面垂直的判定定理可得，再根据直线与平面垂直的性质定理可得；(2)有边的关系，设，则，再由线段，，互相垂直，以三边所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量为以及平面的一个法向量是，将所求二面角的余弦值问题转化为求这两个法向量的夹角的余弦值问题.

试题解析：(1)证明：∵，∴，

又∵，且,

∴，

∵，

∴.

(2)∵是等边三角形，

，，

不妨设，则，

又∵，分别为、的中点，

由此以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则有，，，，，，

∴，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

∴.

又平面的一个法向量是，

∴，

∴二面角的余弦值为.                   .12分

考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.二面角；4.平面的法向量；5.空间向量的数量积及夹角