Question

已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围．

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

试题分析：(1)先根据圆心到直线的距离等于半径，求出圆的半径即椭圆短半轴的长，然后由离心率求出和的关系，进而得到的值，写出椭圆方程即可；(2)先设出直线方程，再由直线方程与椭圆方程联立方程组，求得，两点的横坐标满足的方程，它的判别式大于零得到，然后由已知条件，结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得，，从而解得，根据已知有以及点在椭圆上，先求出点的坐标，然后代入椭圆方程可知，结合求解的，即可得到的解集.

试题解析：(1)由题意知，短半轴长为：，

∵，∴，

即，∴，

故椭圆的方程为：.                          2分

(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线：，

设，，，

由得，.

，解得.                   4分

.

∵，∴，

解得，.

∵点在椭圆上，∴，

∴.                 ..7分

∵，∴，

∴，

∴，

∴，∴                             10分

∴，

∵，∴，

∴或，

∴实数取值范围为.                          12分

考点：1.椭圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.方程的根与系数的关系；4.解不等式；5.平面向量的坐标运算