Question

已知函数，f '（x）为f（x）的导函数，若f '（x）是偶函数且f '（1）=0.

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；

⑶若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

Answer

⑴；⑵的最小值为；⑶.

【解析】

试题分析：⑴，由是偶函数得.又，所以，由此可得解析式；

⑵对于区间上任意两个自变量的值，都有，则只需即可.所以接下来就利用导数求在区间上的最大值与最小值，然后代入解不等式即可得的最小值．⑶易知点不在曲线上.凡是过某点的切线（不是在某点处的切线）的问题，都要设出切点坐标然后列方程组..

设切点为．则．又，∴切线的斜率为．

由此得，即．下面就考查这个方程的解的个数.

因为过点，可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．即函数有三个不同的零点．接下来就利用导数结合图象研究这个函数的零点的个数.

试题解析：⑴∵，1分

由是偶函数得.又，所以3分

∴．4分

⑵令，即，解得．5分

+

极大值

极小值

∵，，

∴当时，，．6分

则对于区间上任意两个自变量的值，都有

，所以．

所以的最小值为．8分

⑶∵点不在曲线上，

∴设切点为．则．

∵，∴切线的斜率为．

则，即．10分

因为过点，可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

即函数有三个不同的零点．11分

则．

令，解得 或．

+

+

极大值

极小值

∴ 即 解得．12分

考点：1、导数的应用；2、不等关系；3、函数的零点.