Question

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，的单调增区间是和，单调减区间是；当时， 在单调递增；当时，的单调增区间是和，单调减区间是.

（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出导数，.由于含有参数，故分情况讨论. 利用求得其递增区间，求得其递减区间.

（Ⅱ）在区间上恒成立，则.由（1）可知在区间上只可能有极小值点，所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，求出端点的函数值比较大小，较大者即为最大值，然后由便可求出的范围.

试题解析：（Ⅰ）求导得：.

由得，

当时，在或时，在时，

所以的单调增区间是和，单调减区间是；

当时，在时，所以的单调增区间是；

当时，在或时，在时.

所以的单调增区间是和，单调减区间是.

（Ⅱ）由（1）可知在区间上只可能有极小值点，

所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，

即有且，

解得.

考点：1、导数的应用；2、不等关系.