Question

（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．

(1)求椭圆C的方程：

(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线相交于M₁，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）存在或，使得以为直径的圆恒过点

【解析】

试题分析：（1）因为离心率为，在椭圆上.所以利用待定系数法求出长半轴的长和短半轴的长.从而写出椭圆的标准方程.本小题要求解方程组能力较强.虽然本小题属于较基础的题目，但是运算也是这道题难点，否则会影响到下一题的得分.

（2）通过假设的坐标，写出直线.并求出它们与准线方程的交点坐标.如果存在则点是在以线段为直径的圆上，所以通过向量的垂直可得一个关于的等式.又因为符合椭圆的方程.所以可以求出结论.

试题解析：（1）由得：，，        1分

从而有：

又在椭圆上，故有，解得

所以，椭圆的方程为：.        4分

（2）设，由（1）知：.

则直线的方程为：，由得所以；

同理得：. 6分

假设存在点，使得以为直径的圆恒过点，即：.

又在椭圆上，∴∴ .         10分

代入上式得，解得或7.

所以，存在或，使得以为直径的圆恒过点.         12分

考点：1.待定系数求椭圆的方程.2.向量的数量积.3.知识的转化化归思想.