Question

如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．

(Ⅰ)求证:平面平面；

(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，

由此可得平面平面．

(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一个直角三角形，这样可得四边形的面积.

又平面平面，所以过D作的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积.

思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥和，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.

试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，

所以,所以,即，                  3分

又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，

又,所以平面,                   5分

又平面,所以平面平面．          6分

(Ⅱ)法一：连结，∵，∴

∵平面，所以，                    8分

所以四边形的面积，                  10分

取的中点，连结，则，且，

又平面平面,平面平面，

所以平面，

所以四棱锥的体积：．                    12分

法二: 四棱锥的体积，                 8分

而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等，               10分

所以．         12分

考点：1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.