Question

已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，将已知条件代入这个公式，即可得的值.

(Ⅱ)将代入得：得关于的二次方程.设则是这个方程的两个根.因为，所以，再结合韦达定理，可得一个含的等式，与联立解方程组即可求得的值.

(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，动点，则将其代入椭圆方程，便得：①.设，，则.两式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.

思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段MN的长度.

那么选哪 一个量作为变量呢？显然直线AS的斜率存在，设为且，然后用表示出点的坐标，从而表示出线段MN的长度. 再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.

试题解析：（Ⅰ）直线与圆相切,所以   4分

(Ⅱ) 将代入得：

得:         ①

设则

    ②

因为

由已知代人②

所以椭圆的方程为                               8分

(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，将动点的坐标代入椭圆方程，便得：                      ①

设，，则.两式相乘得      ②

由①得：，代入②得：，显然异号.

所以线段MN的长度，当时取等号.

法二、显然直线AS的斜率存在，设为且则

依题意，由得：

设则即

，又B（2，0）所以  BS：

由 

所以时：                                 12分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、函数的最值.