Question

已知数列的首项其中，，令集合.

（1）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（2）求证：对恒有成立；

（3）求证：.

Answer

（1）9，3，1或2，3，1；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）从入手，反过来求.从条件可看出，首先分讨论，然后分讨论.

（2）首先由递推公式将用表示出来，再与比较即可.

（3）注意.当或2、3时，可求出前三项，前三项就是1、2、3三个数，结论成立.

那么当时，结论是否成立？由递推公式的结构可以看出，当时，数列中的项最终必将小于或等于3.现在的问题是如何来证明这一点.注意（2）小题的结论，由可得，这说明，“若，则”，这样依次递减下去，数列中的项最终必将小于或等于3.一旦小于等于3，则必有1、2、3，从而问题得证.

试题解析：（1）由题设知，数列各项均大于0.

当时，.若，则；若，则.

所以前三项分别为9，3，1或2，3，1.

当时，，不合题意，舍去.

综上得，前三项分别为9，3，1或2，3，1.

（2）①当被3除余1时，由已知可得,；

②当被3除余2时，由已知可得,.

若仍为3的倍数，则；若不为3的倍数，则.

总之，都有；

③当被3除余0时，由已知可得.

若都是3的倍数，则.

若是3的倍数，不是3的倍数，则.

若不是3的倍数，是3的倍数，则.

以上三种情况，都有；

综合①②③，有.

（3）注意.若，则，.

若，则，.

若，则，.

以上三种情况都有（实际上）.

下面证明，当时，数列中必存在某一项.

由（2）可得，

所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.由此可知，若仍然大于3，则，这样依次递减下去，最终必存在某一项.

所以如果，则数列中必存在某一项.

由前面的计算知，只要数列中存在小于等于3的项，则必有1、2、3三个数，

所以.

考点：1、递推数列；2、不等式的证明.