Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，,底面, ,为的中点，为的中点.

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，本题虽有中点，但没直接的三角形，可考虑用平行四边形的对边平行，可取ＯＤ的中点Ｇ，连结ＣＧ，ＭＧ，证明四边形为平行四边形即可，也可取中点，连接，，利用面面平行则线面平行，证平面平面即可．也可利用向量法，作于点P,如图,分别以，所在直线为轴建立坐标系，利用向量与平面的法向量垂直，即数量积等于零；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小，分别写出异面直线与对应向量的坐标，由向量的夹角公式即可求出．

试题解析：方法一（综合法）

（Ⅰ）取中点，连接，

又     

（Ⅱ）

 为异面直线与所成的角（或其补角），

作连接 ， ，,,

 ， ,  

所以 与所成角的大小为 

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以，所在直线为轴建立坐标系.

,

,

 (Ⅰ)，

设平面的法向量为,则 

即 ，  取,解得

..

(Ⅱ)设与所成的角为, 

，    , 即与所成角的大小为.

考点：线面平行的判断，异面直线所成的角．