Question

已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为2，若.

（Ⅰ）求此椭圆的方程；

（Ⅱ）点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于、两点（在第一象限内），又、是此椭圆上两点，并且满足，求证：向量与共线.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求此椭圆的方程，由题意到上顶点的距离为2，即，，再由，即可求出，从而得椭圆的方程；（Ⅱ）求证：向量与共线，即证，由于点是椭圆的右顶点，可得，直线与椭圆交于、两点（在第一象限内），可由，解得，得，只需求出直线的斜率，由题意，而与的平分线平行，可得的平分线垂直于轴，设的斜率为，则的斜率；因此和的方程分别为：、；其中；分别代入椭圆方程，得的表达式，从而可得直线的斜率，从而可证．

试题解析：（Ⅰ）由题知：

（Ⅱ）因为：，从而与的平分线平行，

所以的平分线垂直于轴；

由不妨设的斜率为，则的斜率；因此和的方程分别为：、；其中； 由得；，因为在椭圆上；所以是方程的一个根；

从而；     同理：；得,

从而直线的斜率；又、；所以；所以所以向量与共线.

考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系．