Question

已知函数. 

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ）当时，

所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增．（Ⅲ）所求的范围是：或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程，由导数的几何意义可得，对函数求导得，令，求出，得切线斜率，由点斜式可写出曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间，求函数的单调区间，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调区间，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，由此需对参数讨论，有范围判断导数的符号，从而得单调性；（Ⅲ）若在上存在一点，使得＜成立，既不等式＜有解，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零，结合（Ⅱ），分别讨论它的最小值情况，从而可求出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，

当时，， ，

，,切点，斜率

∴曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增．

（Ⅲ）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．

由（Ⅱ）可知：①当，即时， 在上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以；

②当，即时， 在上单调递增，

所以最小值为，由可得；

③当，即时，可得最小值为，

因为，所以，

故 此时不存在使成立．

综上可得所求的范围是：或．

考点：函数与导数，函数单调性，存在解问题．