Question

在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平面，，、分别为、的中点．

（Ⅰ）证明：⊥；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：⊥，证明两线垂直，只需证明一线垂直另一线所在的平面，从图上看现有的平面都不满足，需重新构造，注意到，是边长为的正三角形，可考虑取中点，连结，，这样易证平面，从而可得；（Ⅱ）求三棱锥的体积，在这里的面积不容易求，且Ｂ到平面的距离也不易求，故可等体积转化，换为求三棱锥的体积，由题意，，为的中点，故到平面的距离就等于点到平面的距离的，从而可得三棱锥的体积．

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，．

∵，∴ ．     2分

又∵是正三角形， ∴．    

∵ ，

∴⊥平面．      4分

又在平面内，∴⊥．   6分

（Ⅱ）∵是的中点，

∴．     8分

∵平面⊥平面，，∴平面．

又∵，，∴，即点到平面的距离为1．

∵是的中点，∴点到平面的距离为．      10分

∴．      12分

考点：线面垂直，几何体的体积．