Question

如图，四棱锥中，底面为梯形,∥, ，平面,为的中点

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值

Answer

(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：，在立体几何中，证明线线垂直，往往转化为证明线面垂直，从而得线线垂直，本题可利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，即证垂直平面内的两条相交直线即可，由题意平面，即，在平面内再找一条垂线即可，由已知，,由余弦定理求出，从而可得，即，从而可证，即得平面；然后利用线面垂直的性质可得；（Ⅱ）求二面角的余弦值，可建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，本题由（Ⅰ）可知，故以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设出两个半平面的法向量，利用法向量的性质，求出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得BD==

∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，∵AB∥DC,  ∴BD⊥DC

∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD，∴BD⊥PD

又∵PD∩DC=D,   ∴BD⊥平面PDC,又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC         (6分)

（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=,

由（Ⅰ）可知BD⊥平面PDC.

如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz,则

D(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(0,1，).

=(,0,0),=(0,1，),=(0,-2,),=(,-2,0)  （7分）

设平面BDM的法向量=（x,y,z）,则

x=0,y+z=0,令z=,  ∴取=（0，-1，）        （8分）

同理设平面BPM的法向量为=（a,b,c）,则

∴=(,1，)             （10分）

∴cos<,> ==-              （11分）

∴二面角D-BM-P的余弦值大小为.           （12分）

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．