Question

已知函数，设

（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值

（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer

(Ⅰ) 的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）实数的最小值；（Ⅲ）当时，的图像与的图像恰有四个不同交点．

【解析】

试题分析：（I）求函数的单调区间，首先求出的解析式，得，求函数的单调区间，可用定义，也可用导数法，由于本题含有对数函数，可通过求导来求，对求导得，分别求出与的范围，从而求出的单调区间；（II）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值，可利用导数的几何意义表示出切线的斜率，根据恒成立，将分离出来得，即大于等于的最大值即可，这样求出的范围，从而得到的最小值；（III）函数的图象与的图象有四个不同的交点，即方程有四个不同的根，分离出后，转化成新函数的极大值和极小值问题，利用图像即可求出实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), == 

∵a>0,由FF'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数.

由FF'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数.

∴F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).

（Ⅱ）由FF'(x)= （00

画出草图和验证G(2)=G(-2)=ln5-2+<可知，当m∈(,ln2)时，y=G(x)与y=m恰有四个不同交点.

∴当m∈(,ln2)时，y=g()+m-1=x2+m-的图像与y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图像恰有四个不同交点.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．