Question

已知函数在上单调递减且满足.

（1）求的取值范围.

（2）设，求在上的最大值和最小值.

Answer

（1）；（2）当时，在取得最小值，

在上取得最大值.

当时， 在取得最大值，在时取得最小值.

当时，由，得.

当时，在时取得最小值，在时取得最大值.

当时，在时取得最大值，在时取得最小值，

当时，在时取得最小值；

当时，在时取得最小值.

【解析】

试题分析：（1）注意到 ，

其导函数为

根据题意得到“对于任意.有”.所以结合二次函数的性质分类讨论.

具体情况有，， ，.

（2）注意到，，

讨论，，的情况.

而在时，要结合二次函数的图象和性质，具体地讨论①若，即；

②若，即的不同情况.

易错点在于分类讨论不全面.

试题解析：

（1）由得：

则 ，

依题意需对于任意.有.

当时，因为二次函数的图像开口向上，

而，所以需，即；

当时，对任意有，符合条件；

当时，对任意有，符合条件；

当时，因为，不符合条件.

故的取值范围为.

（2）因，，

当时，，在取得最小值，

在上取得最大值.

当时，对任意有，在取得最大值，在时取得最小值.

当时，由，得.

①若，即时，在上单调递增，在时取得最小值，在时取得最大值.

②若，即时，在时取得最大值，在时取得最小值，而，.则当时，在时取得最小值；

当时，在时取得最小值.

考点：应用导数研究函数，分类讨论思想，数学式子的变形能力.