Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）只需证明.由函数f(x)的图象关于直线对称，可得，

即有．根据函数是定义在R上的奇函数，故有＝－．

从而由，得到，即f(x)是周期为4的周期函数．

(2)首先由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(0)＝0.

根据x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝.    

利用函数的周期性得到，x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式.

试题解析：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线对称，有，

即有                                      2分

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有＝－．

故，从而，即是周期为4的周期函数．                                6分

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0.

时，.    

故时，                                     9分

时，.

从而，时，函数f(x)的解析式为.             12分

考点：函数的奇偶性、周期性