Question

设函数(其中).

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.

Answer

(Ⅰ)函数的递减区间为,递增区间为,.

(Ⅱ)函数在上的最大值.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”，本题利用“表解法”，直观，易于理解.

(Ⅱ)求函数的最值，通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的极值、比较区间端点函数值”等步骤，不断地构造函数加以转化，是解答本题的关键.

试题解析：

(Ⅰ)当时,

,

令,得,                                   2分

当变化时,的变化如下表:

极大值

极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.

                                                                          6分

(Ⅱ),

令,得,,                                         7分

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时,；当时,；

所以                    10分

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时,,       12分

当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.

综上,函数在上的最大值.                   14分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值、最值