Question

已知函数（，），．

（Ⅰ）证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立；

（Ⅱ）记，

(ⅰ)若在上单调递增，求实数的取值范围；

(ⅱ)证明：.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(ⅰ)，(ⅱ) 详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立，只需求出与的解析式，两式作差得，判断符号即可证明；（Ⅱ）记，若在上单调递增，求实数的取值范围，首先求出的解析式，从而得，若它在上单调递增，即它的导函数在上恒大于零，得恒成立，这是恒成立问题，只需把含有的放到不等式的一侧，不含的放到不等式的另一侧，即，转化为求的最大值问题，可利用导数求出最大值，从而可得实数的取值范围. 证明：,因为,只需证它的最小值为,可利用导数证明它的最小值为即可.

试题解析：（Ⅰ）证明： ，

，

，则   ①

，则，②

由①②知．

（Ⅱ）（ⅰ），，

令，则在上单调递增．

，则当时，恒成立，

即当时，恒成立．

令，则当时，，

故在上单调递减，从而，

故．（14分）

（ⅱ）法一：，令，

则表示上一点与直线上一点距离的平方．

令，则，

可得在上单调递减，在上单调递增，

故，则，

直线与的图象相切与点，点到直线的距离为，

则，故．

法二：，

令，则．

令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，

则，则，故．

考点：作差法证明不等式,函数的导数与单调性,导数与不等式.