Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得始终平分？若存在求出点坐标；若不存在请说明理由．

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为：，先由已知条件“短轴长为”，求得，再由已知条件“有一个焦点与抛物线的焦点重合”，求得，则，从而得到椭圆方程；(Ⅱ)设直线方程为：，与椭圆方程联立方程组求得(※)，假设存在定点使得始终平分，则有，将对应点的坐标代入，结合直线方程以及(※)化简求得，从而无论如何取值，只要就可保证式子成立，进而得出点坐标.

试题解析：(Ⅰ)∵椭圆的短轴长为，

∴，解得，

又抛物线的焦点为，

∴，则，

∴所求椭圆方程为：．

(Ⅱ)设：，代入椭圆方程整理得：

则，假设存在定点使得始终平分，

则

①，

要使得①对于恒成立，则，

故存在定点使得始终平分，它的坐标为．

考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的性质；3.根与系数的关系