Question

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在与处的切线相互平行，求的值及切线斜率；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数的图像C₁与函数的图像C₂交于P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C_1、C₂于点M、N，证明：C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．

Answer

(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ；(Ⅲ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由已知条件“曲线在与处的切线相互平行”可知，曲线在这两处的切线的斜率相等，求出曲线的导数，根据求出的值及切线斜率；(Ⅱ)有已知条件“函数在区间上单调递减”可知，在区间上恒成立，得到，则有，依据二次函数在闭区间上的值域，求得函数在区间的值域是，从而得到；(Ⅲ)用反证法，先假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设，，则有，分别代入函数与函数的导函数，求得①，结合P、Q两点是函数的图像C1与函数的图像C2的交点，则坐标满足曲线方程，将①化简得到，设，，进行等量代换得到，存在大于1的实根，构造函数，结合导函数求得函数在区间是单调递减的，从而，得出矛盾.

试题解析：(Ⅰ)，

则，

∵在与处的切线相互平行，

∴，即，解得，

.

(Ⅱ)∵在区间上单调递减，

∴在区间上恒成立，

则，即，

∵，∴，

∴.

(Ⅲ)，，

假设有可能平行，则存在使，

，

不妨设，，

则方程存在大于1的实根，设，

则，∴，这与存在使矛盾．

考点：1.二次函数的图像与性质；2.利用导数研究函数的单调性；3.反证法；4.利用导数研究曲线切线的斜率；5.不等式恒成立问题