Question

已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）圆的圆心已知，可求出椭圆方程中的，又椭圆离心率知道根据 可得，故可求出椭圆方程；（2）设出两点坐标，联立椭圆方程，用弦长公式将表示成的函数，再将表示成的函数，根据和基本不等式求解.

试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c,因为

所以椭圆的方程为。

（2）设，

联立方程得

所以

则

又点到直线的距离，则

显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是y轴,与已知矛盾，所以要使,只要，所以

当时，.

当时，3，

又显然，所以。

综上，圆的半径的取值范围是.

考点：椭圆和直线综合、点到直线的距离公式、弦长公式、基本不等式.