Question

已知函数.

（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）当时，试比较与的大小.

Answer

（1） ；(2) ；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先利用求出，然后在不等式中分离参数，构造函数求的范围；(2) 要使在定义域上是单调函数，则其导数应在定义域上恒正或恒负，利用，求出的最值，将在此处断开讨论，求出范围；（3）由（1）知在上单调递减，所以时，即，而时，，故可得证.

试题解析：（1）因为，所以，，由         1分

令，可得在上递减，

在上递增，所以，即         4分

(2)若，，令

当，当，所以时取得极小值即最小值

而当时  ，必有根，必有极值，在定义域上不单调.

所以                                      8分

（3）由（1）知在上单调递减

所以时，即         10分

而时，，所以

所以                                          12分

考点：利用导数求函数最值、利用函数单调性证明不等式、利用导数判断函数增减性.