Question

已知函数

（1）求函数单调递增区间；

（2）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求导函数，解不等式，其解集和定义域求交集，得函数的单调递增区间，该题中，不等式不易解出，但是可观察到当且时恒成立，故函数在整个定义域内单调递增；（2）由题知只需，即

问题转化为求函数在的值域问题，观察得，当时，；当时，，则，最大值为中的较大者，进而得关于的不等式，再考虑不等式的解集即为实数的取值范围.

试题解析：⑴．

，所以在上是增函数，

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为

⑶因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

减函数

极小值

增函数

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值

，的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；

所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；

考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的极值和最值.