Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥B₁C；

（2）求证：AC₁∥平面B₁CD；

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明“线线垂直”，可通过证明“线面垂直”而得到.

由于在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，

所以  AC⊥BC．又在直三棱柱ABC-A1B1C1中C C1⊥AC．

因此可得到AC⊥平面B B1C1C．证得AC⊥B1C．

（Ⅱ）证明“线线平行”，往往可通过证明“线线平行”或“面面平行”而得到.

注意连结BC1，利用DE为△ABC1的中位线，得到 DE// AC1．

从而可得AC1∥平面B1CD．

立体几何中的证明问题，要注意表达的规范性及层次性.

试题解析：证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，

所以AC⊥BC．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．

因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．

所以AC⊥B1C．

（Ⅱ）连结BC1，交B1C于E．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，

所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点.

又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．

因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，

所以AC1∥平面B1CD．

考点：垂直关系，平行关系.