Question

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。

（1）求双曲线的方程；

（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。

Answer

（1）；(2)的取值范围是

【解析】

试题分析：（1）本题较易，注意利用已知条件建立方程组解得，

即得所求.

（2）从确定三角形的面积表达式入手，建立的不等式

.通过设直线的方程为，建立方程组并整理，建立的不等关系；

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，

得到线段的垂直平分线的方程为，

求得此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，

从而利用，整理得，，

将上式代入的不等关系式，得到的不等式.

试题解析：（1）设双曲线的方程为，

由题设得解得，

 所以双曲线方程为.

（2）设直线的方程为，点的坐标满足方程组，整理得，此方程有两个不等实根，

于是且，

整理得......③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，

从而线段的垂直平分线的方程为，

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，

由题设可得，整理得，，

将上式代入③式得，

整理得，，解得或，

所以的取值范围是

考点：双曲线的标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式.