Question

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若点是的中点，求证：平面；

（II）试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.

Answer

（Ⅰ）见解析；

（II）当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过连接，应用三角形的中位线定理得到证明得到 面．

（II）利用空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，而平面的法向量，得到，确定出点在线段的中点时，二面角的余弦值为.解答此类问题，要注意发现垂直关系，建立适当地直角坐标系，以简化解题过程.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，

由三角形的中位线定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如图空间直角坐标系，

在中，斜边,得，所以，.

设，得.

设平面的一个法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由题意，即，

解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

考点：平行关系，空间向量的应用，二面角的计算.