Question

已知函数上为增函数，且，，．

（1）求的值；

（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer

（1）；

（2）函数的单调递增区间是，递减区间为，极大值；

（3）的取值范围为．

【解析】

试题分析：（1）利用在上恒成立，

转化成在上恒成立，从而只需，

即，结合正弦函数的有界性，得到，求得；

（2）研究函数的单调性、极值，一般遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值的正负，确定单调性及极值”，利用“表解法”，往往形象直观，易于理解.

（3）构造函数，

讨论，时，的取值情况，根据在上恒成立，得到在上单调递增，利用大于0，求得.

试题解析：（1）由已知在上恒成立，

即，∵，∴，

故在上恒成立，只需，

即，∴只有，由知；             4分

（2）∵，∴，，

∴，

令，则，

∴，和的变化情况如下表：

+

0

极大值

即函数的单调递增区间是，递减区间为，有极大值；

        7分

（3）令，

当时，由有，且，

∴此时不存在使得成立；

当时，，

∵，∴，又，∴在上恒成立，

故在上单调递增，∴，

令，则，

故所求的取值范围为．                           12分

考点：应用导数研究函数单调性、极值