Question

如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若与平面所成角为，且，求点到平面的距离．

Answer

(1)见试题解析；（2）.

【解析】

试题分析：（I）要证明平面，关键是在平面内找到一条与直线平行的直线，本题就想是否有一个过直线的平面与平面相交，交线就是我们要找的平行直线（可根据线面平行的性质定理知），在图形中可容易看出应该就是平面，只不过再想一下，交线到底是什么而已，当然具体辅助线的作法也可换成另一种说法（即试题解析中的直接取中点，然后连接的方法）；（2）由于平面，所以三棱锥的体积可以很快求出，从而本题可用体积法求点到平面的距离，另外由于，如果取中点，则有，从而可得平面，也即平面平面，这时点到平面的垂线段可很快作出，从而迅速求出结论.

试题解析：（I）证明：如图，取的中点，连接．

由已知得且，

又是的中点，则且，是平行四边形， ∴

又平面，平面  平面

（II）设平面的距离为，

【法一】：因平面，故为与平面所成角，所以，

所以，，又因，是的中点所以，，．

作于，因，则

，

则，

因所以

【法二】因平面，故为与平面所成角，所以，

所以，，又因，是的中点所以，，．

作于，连结，因，则为的中点，故

所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离.

又，

所以.

考点：（1）线面平行的判定；（2）点到平面的距离.