Question

对于函数若存在,使得成立,则称为的不动点.

已知

(1)当时,求函数的不动点;

(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;

(3)在(2)的条件下,若图象上、两点的横坐标是函数的不动点,且、两点关于直线对称,求的最小值.

Answer

（1）-1和3;（2）；（3）．

【解析】

试题分析：(1)根据不动点的定义，本题实质是求方程即的解；（2）函数恒有两个相异的不动点即方程恒有两个不等实根，对应的判别式恒成立；（3）、两点关于直线对称，可用的结论有：①直线AB与直线垂直，即斜率互为负倒数；②线段AB的中点在直线上．注意不动点A、B所在直线AB的斜率为1．

试题解析： (1)时,,

函数的不动点为-1和3;

(2)即有两个不等实根,转化为有两个不等实根,需有判别式大于0恒成立

即,

的取值范围为;

(3)设,则,

的中点的坐标为,即

两点关于直线对称,

又因为在直线上, ,

的中点在直线上,

利用基本不等式可得当且仅当时,b的最小值为.

考点：（1）解方程；（2）二次方程有两个不等实根的条件；（3）直线的对称点问题及最小值问题．