Question

在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.

Answer

(1) 或；(2) .

【解析】

试题分析：（1）涉及到圆的弦长问题，我们一般利用弦心距，弦的一半，相应半径所构成的直角三角形，本题中由弦长为，半径为2，可求得弦心距为1，此即为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求得斜率．利用方程思想求时要注意直线斜率不存在即直线与轴垂直的情形．否则可能漏．（2）由（1）的分析可知直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等可得圆心到直线的距离与圆心到直线距离相等，所以我们可设点坐标为，直线的方程分别为，，利用圆心到直线的距离与圆心到直线距离相等列出关于的方程，再转化为关于的方程有无穷解问题，从而得解．

试题解析：（1）设直线的方程为，即

由垂径定理得圆心到直线的距离

结合点到直线的距离公式得

所求直线的方程为或，即或

（2）设点，直线的方程分别为

即

由题意可知圆心到直线的距离等于到直线的距离

即，化简得，关于的方程由无穷多解，则有

，故.

考点：(1)点到直线距离公式；（2）方程解的个数问题．