Question

已知数列满足：．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件中给出的通项的递推公式，转变为，列出及时各项式子，利用叠加消项法求数列的通项公式（叠加消项法在求数列的通项、前项和中常常用到，其特点是根据等式两边结构特征，一边相加可消掉中间项，另一边相加可以得到某一特殊数列或是常数）；（Ⅱ）由（Ⅰ）结果知数列的通项为，观察其通项公式特点，可采用裂项相消法来求其前项和（裂项相消法在求前项和中常用的一种方法，其特点是通项公式可裂开成两项之差，相加后可以消掉中间项）.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，

所以有，，， ，

将上述等式叠加可得

当时满足上式，所以所求数列的通项公式为.    6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，    9分

所以 12分

考点：1.数列通项(叠加消项法)；2.数列前项和(裂项相消法) (裂项相消法).