Question

如图所示，在直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA₁＝3.

(1)证明：AC⊥B₁D；

(2)求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据直棱柱性质，得平面，从而，结合,证出平面，从而得到；

（2）因为，所以直线与平面夹角即直线与平面夹角

建立空间直角坐标系，设为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，设平面的一个法向量，通过计算求出，与的夹角的余弦值的绝对值就为直线与平面夹角的正弦值.

试题解析：(1) 是直棱柱

又

又，

（2）

直线与平面夹角即直线与平面夹角

建立空间直角坐标系，设为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，

设,,,,,则，，

，即

，

设平面的一个法向量

，，

直线与平面夹角的正弦值.

考点：1.线面垂直的判定定理及性质定理；2.向量法求空间角.