Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥平面ABC,△ABC为正三角形，且侧面AA₁C₁C是边长为2的正方形,E是的中点,F在棱CC₁上。

（1）当CF时，求多面体ABCFA₁的体积；

（2）当点F使得A₁F+BF最小时，判断直线AE与A₁F是否垂直，并证明的结论。

Answer

(1) ;(2) ，证明详见解析

【解析】

试题分析：（1）此多面体是以为底面，以B为顶点的四棱锥，而且，因为△ABC为正三角形，所以△ABC的AC边上的高即为此四棱锥的高，底面是直角梯形，所以利用锥体体积公式即可求得其体积。(2)把立体图展成平面图后，两点之间直线最短，连接交与点F，此时A1F+BF最小，分析可知F为的中点。过点作交于，则是的中点，此时只需判断AE与EG是否垂直即可。求出三角形AEG三边长即可得证，详见解析。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）

由已知可得的高为且等于四棱锥的高.

，即多面体的体积为         5分

（Ⅱ）将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.   7分

过点作交于，则是的中点，.

过点作交于，则

又于是在中，

在中，

在中，， ∴               13分

考点：几何体体积，线线垂直。