Question

如图①，△BCD内接于直角梯形，A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，A₁D＝10，A₁A₂＝8，沿△BCD三边将△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥ABCD，如图②.

(1)求证：AB⊥CD；

(2)求直线BD和平面ACD所成的角的正切值；

(3)求四面体的体积。

Answer

(1)详见解析；(2) ； (3)

【解析】

试题分析：（1）平面图中因为A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，所以，立体图中不变，即，可证得,就可证出AB⊥CD。（2）由（1）知AB⊥平面ACD.，所以AD即为BD在面ACD内的射影，所以∠BDA即为所求。在直角三角形中利用三角函数可求其正切值。（3）由（1）知，所以可以选以面ADC为底面，以AB为高求其体积。

试题解析：(1)证明：∵在直角梯形A1A2A3D中，A1B⊥A1D，A2B⊥A2C，

∴在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC.

∵AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.

∵CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD.

(2)【解析】
由(1)知AB⊥平面ACD，

∴AD为BD在平面ACD内的射影，

∠BDA是直线BD和平面ACD所成的角．

依题意，在直角梯形A1A2A3D中，

A1D＝A3D＝10，A1B＝A2B＝4，

∴在三棱锥ABCD中，AD＝10，AB＝4.

在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝＝＝.

∴直线BD和平面ACD所成的角的正切值为.

（3）由(2)得:

考点：线面垂直证线线垂直，线面角，多面体体积。