Question

矩形的中心在坐标原点，边与轴平行，=8，=6.分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.

（1）求以为长轴，以为短轴的椭圆Q的方程；

（2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.

（3）设线段的（等分点从左向右依次为，线段的等分点从上向下依次为，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：根据长轴长,短轴长,可求出椭圆的方程；根据点的坐标可写出直线的方程，同理也可写出直线的方程，再求出它们的交点的坐标，验证在椭圆上即可得证；类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．

试题解析：

根据题意可知，椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为，

因为长轴长,短轴长，所以，

所以所求的椭圆的标准方程为：．

由题意知，

可得直线的方程为，直线的方程为，

联立可解得其交点，将的坐标代入椭圆方程成立，即点在椭圆上得证．

另法：设直线、交点，

由三点共线得：                  ①

由三点共线得：             ②

①②相乘，整理可得，即

所以L在椭圆上．

（3）类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．

考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系．