Question

如图在棱长为1的正方体中，M,N分别是线段和BD上的点，且AM=BN=

（1）求||的最小值；

（2）当||达到最小值时，与，是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直，说明理由．

Answer

(1)；（2）垂直，详见解析．

【解析】

试题分析：(1)作，连.易知,再由余弦定理可得：，则，根据二次函数的知识即可得到其最小值；建立空间直角坐标系，利用空间向量方法，写出，，的坐标，利用数量积即可求证它们是否垂直．

试题解析：（1）作，连.易知

在，由余弦定理可得：

在，。当时，最小值=．

(2)以点为坐标原点,以所在的直线分别为轴建立直角坐标系,由(1)可知,,所以点,,,,,,

则,,,

,

即当||达到最小值时，与，是否都垂直.

考点：本题主要考查了立体几何中的向量方法，以及运算能力和推理论证能力，属于基础题．.