Question

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，为等腰三角形，是边上的中线，所以，再由已知条件算出的三条边长，由此根据勾股定理，可证,从而得证平面；（2）作于F，连AF，由（1）知，  故，所以 ,则 是二面角的平面角，利用平面几何知识即可算出其正切值；（3）设点E到平面ACD的距离为因为,所以,从而求出．也可以点为原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用利用空间向量方法，求解各个小题，详见解析．

试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC

在中，由已知可得    而

即

平面

（Ⅱ）【解析】
作于F，连AF

由（1）知，  故 

 , 是二面角的平面角，

易知,.

即所求二面角的正切值为 

（Ⅲ）【解析】
设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

方法二：（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）【解析】
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅲ）【解析】
设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，又

点E到平面ACD的距离．

考点：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．