Question

已知圆.（14分）

(1)此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且(O为坐标原点)，求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以为直径的圆的方程．

Answer

(1) (2) (3)

【解析】

试题分析：（1）把方程化为圆的标准方程为，故有，由此解得的范围．

（2）由直线方程与圆的方程联立消,把直线代入圆的方程化简到关于的二次方程,设．∵，故 ①，利用根与系数的关系可得,，代入①求得的值.

（3）由(2)可以求出两点的坐标,由两点间距离公式可以求出线段的长度,再由中点公式可以求出圆心．可以得到以直径的圆的方程．当然也可以圆的直径式直接写出圆的方程.

试题解析：

(1)方程，可化为

，

∵此方程表示圆，

∴，即.

(2)

消去得，

化简得.

设，则

由得

即，

∴.

将两式代入上式得

，

解之得.

(3)由，代入，

化简整理得，解得.

∴.

∴，

∴的中点C的坐标为.

又，

∴所求圆的半径为.

∴所求圆的方程为.

考点：圆的一般方程; 二元二次方程表示圆的条件；圆的标准方程；直线与圆的位置关系.