Question

如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

Answer

（1）；（2）定值.

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求椭圆方程.找到两个关于的方程即可.（2）因为的平分线与轴平行，所以直线MA,MB的斜率互为相反数.假设直线MA联立椭圆方程即可得到A点的坐标，因为M点坐标已知.再把k换成-k即可求出B点的坐标.从而求出AB的斜率即可.本题第一小题属于常规题型.第二小题要把握以下三方面：首先是MA,MB的斜率是成相反数，假设了一个另一个也知道.其次A,B的坐标也是只要知道一个另一个只要把k换成-k即可.再次求A,B坐标时M点已经知道，用韦达定理很好求出.

试题解析：（1）由，得，故椭圆方程为，

又椭圆过点,则，解之得，

因此椭圆方程为

(2)设直线的斜率为，，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为，联立直线MA与椭圆方程： ，

整理得，由韦达定理，，

，整理可得，

又

所以为定值.

考点：1.待定系数求椭圆方程.2.直线与圆的位置关系.3.韦达定理.4.较复杂的运算.