Question

已知抛物线y²=－x与直线y=k(x+1)交于A、B两点.

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当DAOB的面积等于时，求k的值. 

Answer

(1)证明见试题解析；(2).

【解析】

试题分析：（1）要证明，可设出两点的坐标分别为，则，而，从哪里来呢？考虑到两点在抛物线上，因此，下面的目标是求，我们把直线方程与抛物线方程联立，消去，得到关于的二次方程，正是这个二次方程的解，利用韦达定理，可得，从而证得结论；（2）如果直接利用，则，会发现很难把这个根式用表示出来，我们换一种思路，直线交轴于点，因此把分成两个三角形，从而有，这里，正好能利用（1）结论中的结论.

试题解析：（1）由方程组得：，

设，由韦达定理得：，

∴，

∴，即.4分

（2）设直线与交于点，则，

∴，

∴.10分

考点：（1）直线与抛物线相交，垂直问题；（2）面积问题.