Question

设椭圆C:过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度.

Answer

【解析】

试题分析：(1)椭圆的方程是标准方程，已知椭圆过点，这必定是椭圆的顶点，从而易知（当然也可直接把代入椭圆方程解出），再由离心率为，可求出.得椭圆的方程.（2）这是直线与椭圆相交求相交弦长的问题，我们可以用相交弦长公式求解，这里是直线的斜率，是交点的横坐标.

试题解析：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴,又  得即， 

∴ ∴C的方程为．

（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，  ，

∴.

考点：（1）椭圆的顶点与离心率；（2）直线与椭圆相交弦长问题.