Question

已知双曲线的离心率为，右准线方程为,

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为这是双曲线的标准方程，故由双曲线的几何性质知，这样就可求出双曲线方程；（2）这是直线与双曲线相交，且与相交弦中点有关问题，一般方法就是把直线方程与双曲线方程联立方程组，消去得关于的方程，再由韦达定理得，如果记AB中点为，则，从而可把中点坐标用参数表示出来了，最后利用中点M在圆上，可求出值.

试题解析：（1）由已知得，解得，∴，

∴双曲线方程为.                4分

（2）以双曲线实轴为直径的圆的方程是：，把代入双曲线方程刘：

，令，的中点，则有：

  ，，代入圆方程

中得：  ，所以.

考点：（1）双曲线的几何性质；（2）直线与双曲线相交问题.